Équation de cercle

L'objectif de cette activité est de déterminer une équation d'un cercle dans le plan après avoir étudié un cas particulier.

Soit  $(\text{O};\text{veci};\text{vecj})$  un repère orthonormé du plan.

Un cas particulier

On considère  $(C_1)$  le cercle de centre  $\text{O}$  et de rayon $5$ . 
1. Justifier que le point  $\text{B}(5;0)$  appartient au cercle  $(C_1)$ . 
2. Déterminer les coordonnées d'un autre point du cercle  $(C_1)$ . 
3. Le point  $\text{D}({\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}})$ appartient-il au cercle  $(C_1)$  ?
4. Démontrer que, si un point  $\text{M}$ appartient à   $(C_1)$  alors ses coordonnées $(x;y)$ vérifient $x^2+y^2=25$ . La réciproque est vraie aussi : si deux réels $x$ et $y$ vérifient  $x^2+y^2=25$   alors ce sont les coordonnées d'un point du cercle $(C_1)$ .

Cas général

On considère un cercle  $(C)$  de centre  $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}})$  et de rayon $R>0$ . Soit  $\text{M}(x;y)$  un point du cercle  $(C)$ .
1. Justifier que  ${\text{AM}}^2=R^2$ .  
2. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AM}}$  puis exprimer ${\text{AM}}^2$  en fonction de  $x_{\text{A}},y_{\text{A}},x$  et  $y$  dans l'équation   ${\text{AM}}^2=R^2$ . 
3. Démontrer que, si le point  $\text{M}(x;y)$ appartient à $(C)$ , alors il existe trois réels   $a,b$ , $c$ , non simultanément nuls, tels que $x^2+y^2+ax+by+c=0$ . Préciser l'expression de  $a,b$ , $c$   en fonction de $x_A,y_A,R$ .
L'équation ainsi obtenue s'appelle équation cartésienne du cercle  $(C)$ .
4. Donner les expressions de  $x_A,y_A,R$ en fonction de $a,b$ , $c$   puis traduire la condition  $R>0$   en une condition sur les trois réels $a,b$ , $c$ .

Applications

1. Donner l'équation cartésienne du cercle  $(C_2)$  de centre  $\text{G}(3;-2)$  et de rayon $4$ .
2. Dire si les équations suivantes sont celles de cercles et, si oui, en préciser le centre et le rayon.
    a.  $x^2+y^2-2x+4y-20=0$  
    b.  $x^2+y^2+x=0$  
    c.  $x^2+y^2-2x+4y+14=0$